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数学椭圆的解题技巧和方法篇一

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数学的复习策略及其椭圆技巧对考生来说极其重要。以下是小编整理的数学椭圆的解题技巧，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式，如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。

有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。

转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果o是坐标原点，椭圆上两点a、b坐标分别为和，ab与x轴交于d，则

（d是点o到ab的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用）。

解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。

做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。

这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容关于直线：

1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程：。据此可以直接写出过和两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。

2、直线一般式ax+by+c=0表示的这条直线和向量（a，b）垂直;过定点的直线的一般式可以写为。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。

关于椭圆：

3、椭圆的焦点弦弦长为

（其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。

4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆的准线是。

考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

集中注意力是的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1、先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2、先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。

3、先同后异，就是说，先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力，

4、先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的`心理基矗

5、先点后面，近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面

6、先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。

数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对、对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷的第一印象不良，进而使阅卷认为考生不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。

会做的题目当然要力求做对、做全、得，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分。下面有两种常用方法。

1、缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有象完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。

2、跳步解答。解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊（如用特殊法解选择题），化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

解决应用性问题，首先要全面调查题意，迅速接受概念，此为“面”;通过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”;综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际背景。

（一）使用待定系数法确定椭圆方程

例题1：已知椭圆的中心为原点，椭圆同时经过两点，分别为m（6，1），n（3，2），请写出椭圆方程。分析题目：我们在做题的时候，第一步是读题，再从题目中提取有用信息，之后根据之前做题的经验判断出本题的解题切入角度，最后在开始解题。本例题就可以将椭圆方程设为ax2+by2=1（a>0，b>0，且a≠b）。解题步骤为：因为椭圆过m、n两点，所以a、b两点在椭圆上，坐标适合于椭圆方程。那么36a+b=1 （1），9a+4b=1 （2），将（1）（2）两式联立，最后得出a=1/45，b=1/5.所以椭圆方程为x2/45+y2/5=1.此类椭圆题目就可以根据题目信息，使用待定系数法求出椭圆方程，换言之，就是通过对a和b求解，再将椭圆方程写出来。第一步是确定题型，再选用合适的方法，最后计算。但是利用待定系数法解决题目的时候，需要根据具体题型写出最方便解题的椭圆方程，比如将椭圆方程写作ax2+by2=1（a>0，b>0，且m≠n），在将题目中给定的数据带入计算出a和b的数值，也就写出椭圆方程了。

（二）根据椭圆定义解题

高中数学中对椭圆的定义为：平面内和两个定点分别记为f1和f2之间的距离之和大于常数2a（数学表达式为：2a>f1f2│）的动点p的运动轨迹称为椭圆，数学表达式写作：│pf1│+│pf2│=2a。本公式中的两个定点f1、f2称作椭圆的焦点，两个焦点与坐标轴之间的距离用字母c表示，数学公式为：│f1f2│=2c<2a，2c为椭圆的焦距，p为椭圆上的动点。在做椭圆题目的时候，遇到求解椭圆焦点问题时，就可以使用这种方法解决。例题2：已知△abc的底边ab=14，ac和bc两条边上的中线长度之和为27，求解此三角形中心g的运动轨。分析题目：有题目给出的条件可以得出│ag│+│bg│=18，之后再根据椭圆的定义进行求解。解题步骤为：设ab所在直线为x轴，ab中点为坐标原点建立直角坐标系。g点的坐标为（x，y），因为│ag│+│bg│=18，所以三角形重心g的运动轨迹是以a、b两点作为焦点的椭圆，又因为a、b两点在坐标轴上，所以得出a=9，c=7，所以b=2√8。所以椭圆方程为x2/81+y2/49=1，（y≠0）。

但是在实际的解题的时候，题目并不会如此单一，很多时候会与其他知识点相结合考察，所以就需要我们高中生提高自己对基础知识的掌握程度，平时在课下对所学知识点进行练习巩固，将各个知识点融会贯通，养成一定的做题惯性。通常会有两种方法结合使用的题目，我们在做题的时候需要以定义法作为解题的基础方法，再考虑其他的解题方法，有时候一个题目有多种解法，但是计算过程中计算量不同，所需要花费的解题时间也不一样，因此我们在平时做练习题的时候，需要对同一题目采用多种解题方法解答问题，拓宽自己解题的思路。随着新时代课程改革的进展，椭圆问题的解决方法也会逐渐增多，比如向量法、数形结合法等。随着这些知识点与椭圆等圆锥曲线问题的结合考察与解答，可以帮助我们高中生拓宽解题思维方向，轻松解答各种高中数学题目。也需要高中生在不断的练习过程中，归纳总结题型以及简便解法，让自己在上考场的时候，利用最少的时间做出题目，并保证正确率，最后获得高分，进入自己理想的大学。

在上文解题的时候也简要指出解答椭圆问题的方法步骤。第一步就是读题，审题。本步骤是解答问题的关键性操作，因为通过对题目的阅读与审判，知道本题是何种题型、使用何种解题方法。从给出的信息条件中找到解题时需要使用的关键信息，了解题目的已知条件以及位置关系，根据椭圆的标准方程进行推导计算。下一步就是在解题的过程使用运用之前自己学习的知识，解答问题。这与我们高中生平时的积累联系息息相关，对于基础知识的掌握程度的高低是做对题目几率大小的基础。在教学中，教师要关注椭圆的定义、标准方程、几何性质等知识，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中，题型主要以选择、填空题为主，一般为中等难度题。目前我国高中数学知识之间的联系越来越密切，因此我们高中生在学习椭圆知识的时候，需要循序渐进，由浅入深，还需要与其他知识点进行结合，在学习新知识的同时，巩固学过的知识。需要做到简答问题必须做对，中级问题尽最大努力学会，课下多练习，考试的时候争取做对，而高难度问题需要我们在平时的联系中多做，考试的时候如果不会，就将自己会的步骤写下来，争取多得分。

作为一名在读高中学生，我们在课堂上学习椭圆知识的时候，需要特别注意老师解题时对椭圆标准方程的推导步骤以及使用的计算方法。并且随着学习的不断深入，要注重对所学知识、题型的归纳总结，增强对知识点的掌握能力，为之后的学习打下坚实的基础。目前我国高中教材中对圆锥曲线章节是按照圆-椭圆-双曲线-抛物线的顺序进行安排的，教师在讲课的时候大部分也是按照课本的顺序讲解的，所以我们学生在学习的时候需要学好每一部分知识，一步一个脚印，扎实掌握每一部分。还需要提高对基础知识的重视程度，俗话说，地基打不牢，大楼顷刻倒塌。所以在学习的过程中，根据老师讲课进度、练习题难度的增加，巩固知识，一层层的推进，从易到难，由浅及深。我们还需要注意对自己错题的整理与归纳，通过反复的练习，增强自己解题的感觉。除了上述方法之外，还可以在解题的时候引入数形结合的数学解题思维，将所学知识从课本上升至实例中。现在某些地方的教师在讲课的时候，可能错估了学生学习接受巩固知识的时间，也对学生可以接受的难度判断失误，使得自己讲的知识难度增加，而学生们无法跟上老师的进度，导致我们在学习椭圆知识的时候，基础知识掌握不牢固，难点知识学不会。因此我们学生自己必须根据老师推荐的资料进行自我练习，根据高考试卷了解考点及难度，归纳总结考试中使用的解题方法以及解题技巧，不断提高题目的难度，以帮助自己提高做题效率和考试成绩。目前，椭圆作为我国高考数学试卷中考试重点知识，往往会与其他圆锥曲线联合考察，比如抛物线和双曲线，应该在做练习的时候注意与其他知识点结合，具体题目具体分析，我们在学习的时候必须将椭圆知识掌握牢固，为后续圆锥曲线的学习奠定基础。

总而言之，高中数学中所考到的椭圆题型复杂多变，解题方法也灵活，但是其考察的知识点范围是一定的，需要我们注意扎实掌握基础知识，利用课余时间多加练习。平时我们常用的解题方法基本上就以下几种：性质法、待定系数法和定义法。我们在平时学习的时候还需要调动自己学习的主动性，培养自己学习数学的兴趣，在练习题中获得快乐，可以对数学知识与知识背后的故事结合理解，丰富学习的内容，拓宽解题思路。希望所有的高中都能考出一个好成绩，步入理想的大学。

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