2023年余弦定理实例(五篇)
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余弦定理实例篇一
秭归二中董建华
我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：
同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。
即：在△abc中，已知acb,bca,及c，求c。
请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了
三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：
过a作adbc于d，是ad＝acsincbcsinc，cdaccosbcosc,在rtabd中，ab2ad2bd2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？
表现出一片茫然，并开始画图分析，讨论终于得出
222abab(acbc)(acbc)ac2acbcbcac2|ac||bc|
2cos(180b)bcb22abcosba2，即。c2a2b22abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。
于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：，a2b2c22bccosa,b2a2c22accosb,c2a2b22abcosc ”
现在我们来证明c2a2b22abcosc ：
2证：abacbcabab=（acbc）（ac
22ac2acbcbcb22bacosca
2即：c2a2b22abcosc，同理可证其余两个，同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。
结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。
反思案例：
1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。
2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。
3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。
总之，通过两节课，效果的比较，使我认识到在课堂上要充分引导学生去分析、观察、发现、讨论、探究问题，让学生做课堂的演员，教师仅仅是节目的主持人，分工明确，一节课才是一节完整的课。
余弦定理实例篇二
高中数学教学中的“情境.问题.反思.应用”----“余弦定理”教学案例分析
作者： 王兵 发布日期：2007-11-1
摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境.问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。
关键词]： 余弦定理；解三角形；数学情境、教学设计、教学背景
近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。、教材分析
余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本 ?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。、设计思路
构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的识经验。
此我们根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过边bc的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。
；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点
生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。、教学过程、设置情境
动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 bc的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点b与箱支点a之间的距离为1.95m，ab与水平线之间的夹角为6°20′，ac的长为1.40m，计算bc的长（保留三个有效数字）。、提出问题
：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模），在三角形 abc，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′，求bc的长。
：能用正弦定理求解吗？为什么？
能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。
：这个问题的实质是什么？
三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 abc，知ac＝b，bc＝a，角c，求ab。、解决问题
：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？
从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）
以先在直角三角形中试探一下。
角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c为直角）斜三角形abc中（如图3），过a作bc边上的高ad，将斜三角形转化为直三角形。（联想构造）
：垂足 d一定在边bc上吗？
一定，当角 c为钝角时，点d在bc的延长线上。
分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）
锐角三角形 abc中，过a作ad垂直bc交bc于d，在直角三角形adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2，在直角三角形adc中，ad＝acsinc, ＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc
c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 钝角三角形 abc中，不妨设角c为钝角，过a作ad垂直bc交bc的延长线于d，直角三角形 adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2，在直角三角形adc中，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c），即ad＝bsinc, cd-bcos c，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc
c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 理可证 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb ：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？、反思应用
：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定能够解决哪些问题？
三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。
弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）
：由余弦定理，得
＝ab 2 ＋ac 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′
3.571 bc≈1.89(m)：顶杆 bc约长1.89m。
：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？
能，已知的三个元素中，至少要有一个边。
：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？
知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解角形时，利用余弦定理。
固练习：课本第 131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵、教学反思
课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的定理教学”提供了一些有用的借鉴。
设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章 5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中不少可用的素材。
情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学
的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
余弦定理实例篇三
高中数学教学中的“情境.问题.反思.应用”----“余弦定理”教学案例分析
作者：王兵 发布日期：2007-11-
1[摘要]：辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境.问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。
[关键词]：余弦定理；解三角形；数学情境
一、教学设计
1、教学背景
在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。
2、教材分析
“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本 ?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3、设计思路
建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边bc的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。
二、教学过程
1、设置情境
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 bc的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点b与车箱支点a之间的距离为1.95m，ab与水平线之间的夹角为6°20′，ac的长为1.40m，计算bc的长（保留三个有效数字）。
2、提出问题
师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）
能，在三角形 abc，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′，求bc的长。
师：能用正弦定理求解吗？为什么？
不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。师：这个问题的实质是什么？
在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 abc，知ac＝b，bc＝a，角c，求ab。
3、解决问题
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。
直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c为直角）斜三角形abc中（如图3），过a作bc边上的高ad，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师：垂足 d一定在边bc上吗？
不一定，当角 c为钝角时，点d在bc的延长线上。（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）
在锐角三角形 abc中，过a作ad垂直bc交bc于d，在直角三角形adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2，在直角三角形adc中，ad＝acsinc, cd＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc 又 bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc
∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2
=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb
在钝角三角形 abc中，不妨设角c为钝角，过a作ad垂直bc交bc的延长线于d，在直角三角形 adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2，在直角三角形adc中，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c），即ad＝bsinc, cd＝-bcos c，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc
∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2
=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc
同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb
同理可证 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb
师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？
4、反思应用
师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？
知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）
解：由余弦定理，得
bc 2 ＝ab 2 ＋ac
＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571
∴ bc≈1.89(m)
答：顶杆 bc约长1.89m。
师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？
不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。
师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？
已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。巩固练习：课本第 131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵
三、教学反思
本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。
创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章 5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。
“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
余弦定理实例篇四
余弦定理教材微观分析
（一）教材地位和作用
余弦定理选自人教a版必修五第一章第一节“正弦定理与余弦定理”，主要包括正弦定理与余弦定理两个概念。本节内容是第2课时。教材知识结构主要研究余弦定理的推导及运用余弦定理解三角函数，从数学学习角度看属于命题课。余弦定理的学习建立在正弦定理、向量运算和勾股定理的基础上，是勾股定理的推广和正弦定理的补充，将三角形的边与角联系起来，实现边角关系的互化，是解三角形的一个重要方法，为后面应用正、余弦定理测量距离、解决有关三角形的计算问题、证明一些三角恒等式，判断三角形形状打下了一定的基础。
教材编排从全等三角形的判定方法出发，引出出问题：“如何计算出三角形第三边的长”。让学生通过已掌握的向量求模的方法化简得到余弦定理。再将勾股定理与余弦公式进行比较，得出判断三角形形状的方法。这样安排一是符合学生的认知规律，二是让学生经历了定理的产生与证明，加深了对向量运算的理解。
（二）核心内容和思想
本节课的核心内容是：余弦定理内容及其证明，余弦定理在解三角形中的应用。因为余弦定理是联系一般三角形中的边角关系的一个重要工具。从思想方法看，本节课蕴含着数形结合、类比思想、转化思想、方程思想，教会学生解决三角形问题的基本方法。
（三）教学重点和难点
余弦定理揭示了三角形中边和角的数量关系，是解三角形的一个重要工具，为今后判断三角形形状，证明与三角形有关的等式与不等式提供了重要依据，在几何中有着广泛应用。所以，教学重点就是余弦定理的内容和在三角形边角计算中的应用。
教学难点是余弦定理的发现和公式的推导。余弦定理的证明需要运用到向量的数量积或解析几何中的两点间距离公式，学生很难想到运用什么方法推出余弦定理。
（四）分析教学目标
知识与技能目标：能够说出余弦定理，能够运用余弦定理解决实际问题。过程与方法目标：在经历向量求模长的过程中探索余弦定理的内容。在运用余弦定理解决三角形问题中，体会数形结合、转化的思想方法。通过余弦定理和勾股定理的比较，体会类比的思想方法。
情感、态度、价值观目标：在余弦定理的证明和应用过程中，感受到数与形的辩证统一和数学的实用性。
（五）例题、习题的作用和编写意图
例3是已知三角形两边及其夹角，解三角形，考察学生对正、余弦定理的综合运用能力。但在运用正弦定理时，正弦值为正，对应的角可能是锐角，也可能是钝角，这就需要学生综合三角形的边和角的大小对应情况作出准确判断。例4是已知三角形三条边，解三角形。例题采用的是余弦定理加三角形的内角和这两个知识点。通过这两道题让学生思考运用正余弦公式求解三角形的利弊，归纳出解三角形的问题分为几类，分别应怎样求解。
余弦定理实例篇五
1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）
余弦定理
一、教材依据：人民教育出版社（a版）数学必修5第一章 第二节
二、设计思想：
1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。
3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。
4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问
找到解决问题的方法。
三、教学目标：
1、知识与技能：
理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题
2．过程与方法：
通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
3．情感、态度与价值观：
探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。
四、教学重点：
通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。
五、教学难点：余弦定理的灵活应用
六、教学流程：
(一)创设情境，课题导入：
1、复习：已知a=300,c=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）
2、若将条件c=450改成c=8如何解三角形？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化
师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△abc，bc=a,ac=b,和角c，求解c,b,a 引出课题：余弦定理
（二）设置问题，知识探究
1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。
师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理
2、①考虑用向量的数量积：如图 a
c
设cba,cab,abc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcoscb 即cab222ab2abcosc,引导学生证明22222
bc2bccosaca2cacosb2②还 引导学生运用此法来进行证明
3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）
（三）典型例题剖析：
1、例1：在△abc中，已知b=2cm,c=2cm,a=1200,解三角形。
教师分析、点拨并板书证明过程
总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△abc中，已知b=5,c=
53,a=300,解三角形。
2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？
设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。
师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。
引入余弦定理的推论：cosa=cosb=acb2ac222bca2bc2222 , , cosc=
abc2ab22
公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。
（2）、若a为直角，则cosa=0，从而b2+c2=a2
若a为锐角，则 cosa>0, 从而b2+c2>a2
若a为钝角，则 cosa﹤0, 从而b2+c2﹤a2
62,求a、b、c例2:已知在abc中,a23,b22,c
先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。
总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△abc中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判
3、三角形形状的判定：
例3：在△abc中，acosa=bcosb,试确定此三角形的形状。
（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）
求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。
变式引申：在△abc中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sina=2sinbcosc,判断△abc的形状。
让学生板练，发现问题进行纠正。
（四）课堂检测反馈：
1、已知在△abc中，b=8,c=3,a=600,则a=()a 2 b 4 c 7 d 9
6:（3+1),求a、b、c。、在△abc中，若a=
3+1,b=
3-1,c=
10,则△abc的最大角的度数为（）a 1200 b 900 c 600 d 1500
3、在△abc中，a:b:c=1:
3:2,则a：b：c=（）
a 1：2：3 b 2：3：1 c 1：3：2 d 3：1：2
4、在不等边△abc中，a是最大的边，若a2
5、在△abc中，ab=5，bc=6，ac=8，则△abc的形状是（）a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d非钝角三角形
（五）课时小结：
（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）
运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。
（六）课后作业：课本第10页a组3（2）、4（2）；b组第2题
（七）教学反思：
本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
