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勾股定理有关证明篇一

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学

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在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊

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刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的i移至i′，青方的ii移至ii′，iii移至iii′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

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这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的'。路明思(elisha scott loomis)的 pythagorean proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设abc为一直角三角形, 直角于角c(看附图). 从点c画上三角形的高，并将此高与ab的交叉点称之为h。此新三角形ach和原本的三角形abc相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有a这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形cbh和三角形abc也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为bc=a,ac=b,ab=c

所以a/c=hb/a and b/c=ah/b

可以写成a*a=c*hb and b*b=c*ah

综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*hb+c*ah=c*(hb+ah)=c*c

换句话说:a*a+b*b=c*c

[*]----为乘号

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