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学习辅导：分式求导公式（1）

第一课时  9.1  分式求导公式

一、学习目标

1．掌握分式求导公式、有理式的概念。2．掌握分式求导公式是否有意义、分式求导公式的值是否等于零的识别方法。

二、重点难点

重点是正确理解分式求导公式的意义，分式求导公式是否有意义的条件及分式求导公式的值为零的条件，也是本节的难点。1．分式求导公式的概念：一般地，形如 的式子叫做分式求导公式，其中A和B均为整式，B中含有字母。2．分式求导公式是否有意义的识别方法：当分式求导公式的分母为零时，分式求导公式无意义；当分式求导公式的分母不等于零时，分式求导公式有意义。3．分式求导公式的值是否为零的识别方法：当分式求导公式的分子是零而分母不等于零时，分式求导公式的值等于零。4．对整式、分式求导公式的正确区别：分式求导公式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式求导公式与整式的根本区别。

三、解题方法指导

【例1】下列各式哪些是分式求导公式，哪些是整式？① ＋m2  ②1＋x＋y2－   ③   ④⑤    ⑥      ⑦答案：②、④、⑤是分式求导公式，①、③、⑥、⑦是整式。

说明：

此题主要考查对分式求导公式的概念的理解，区分两者的关键是看分母中是否含有字母。③中的π是一个具体的数而不是字母，不要误认为③是分式求导公式，整式可以有字母，只要分母不含字母就不是分式求导公式。【例2】当x取什么值时，分式求导公式 有意义？解：由分母x2－4=0，得x=±2。∴  当x≠±2时，分式求导公式 有意义。

说明：

考查分式求导公式有无意义，取决于分式求导公式的分母的值是否为零，即只考虑分母即可。注意，因为分式求导公式的分子、分母有公因式x＋2，倘若先将公因式约去得 ，此时分母的字母取值范围为x≠2，这样就扩大了字母的允许值。所以不能先约去公因式。【例3】当x取什么数时，分式求导公式①有意义？               ②值为零？

分析：

当分母等于零时，分式求导公式没有意义。当分子等于零而分母不等于零时，分式求导公式的值为零。解：①由分母x2－8x＋15=0，得(x－3)(x－5)=0。∴  x1=3，x2=5。∴  当x≠3和x≠5时，分式求导公式 有意义。②由分子 －3=0，得x=±3。当x=3时，分母x2－8x＋15=0；当x=－3时，分母x2－8x＋15≠0。∴  当x=－3时，分式求导公式 的值为零。

说明：

分式求导公式有无意义，取决于分母中字母取值是否使分母为零，所以只考虑分母即可。要使分式求导公式的值为零，必须在分式求导公式有意义的前提下考虑，既要考虑字母取值使分子为零，又要考虑分母是否为零，两者缺一不可。

四、激活思维训练

▲知识点：分式求导公式在什么情况下有意义【例】当x为何值时，分式求导公式 有意义？

分析：

因为分式求导公式是繁分式求导公式，有多层分母，每层分母都必须不为零，繁分式求导公式才有意义。解： =∴            即 ∴  当x≠±1且x≠0时，分式求导公式 有意义。

五、基础知识检测

1．填空题：（1）如果B中        ，式子 叫做分式求导公式，其中A叫做分式求导公式的`           ，B叫做分式求导公式的          。（2）在分式求导公式中，分母               。（3）         和          统称有理式。（4）当x=        时，分式求导公式 无意义。（5）当x=        时，分式求导公式 的值为零；当分式求导公式 =0时，x=        。（6） = 成立的条件是        。（7）当x       时，分式求导公式 有意义。2．选择题：（1）下列说法正确的是                          A．形如 的式子叫分式求导公式B．分母不等于零，分式求导公式有意义C．分式求导公式的值等于零，分式求导公式无意义D．分式求导公式等于零，分式求导公式的值就等于零（2）已知有理式： 、 、 、 、 x2、 ＋4，其中分式求导公式有                                                A．2个       B．3个       C．4个       D．5个（3）使分式求导公式 有意义的x的值是             A．4a                       B．－4aC．±4a                     D．非±4a的一切实数（4）使分式求导公式 的值为零的x的值是         A．4m                       B．－4mC．±4m                     D．非±4m的一切实数3．解答下列各题：（1）当x取什么数时，分式求导公式 有意义？（2）当x为何值时，分式求导公式 无意义？（3）若分式求导公式 无意义，求x的值。

六、创新能力运用

1．已知分式求导公式（1）当x为何值时，分式求导公式无意义？（2）当x为何值时，分式求导公式的值为零？（3）当x为何值时，分式求导公式的值为－1？2．当x为何值时，下列分式求导公式的值为正？（1）                （2） 

参考答案

【基础知识检测】1．（1）含有字母、分子、分母（2）不等于零             （3）整式、分式求导公式（4）x=                  （5）x=－ ，x=±3（6）x≠－5               （7）x≠－2．（1）B      （2）B      （3）D       （4）B3．（1）x≠±1             （2）x=（3）x=±4【创新能力运用】1．（1）x=                （2）x=（3）x=2．（1）x>3或x 或x