作为一名教职工，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。教案书写有哪些要求呢？我们怎样才能写好一篇教案呢？下面是我给大家整理的教案范文，欢迎大家阅读分享借鉴，希望对大家能够有所帮助。

冷与热教案 冷和热大班教案篇一

导入：教师：“请各位家长带着宝宝找到小苹果，然后坐下来，我们要上课啦！大家好，欢迎大家来到新爱婴感统课堂，我是今天的主课老师万万老师，伸出你们的双手跟老师挥挥手，耶~~~~~” 热身操：《健康操》 导入热身操：教师：“今天老师见到这么多健康又可爱的宝宝，老师非常的开心，下面请家长带着宝宝站起来，我们一起来活动一下小身体，希望我们宝宝能够健康快乐的成长，下面请宝宝跟着来说一起来做健康操。” 分解：“左边绕三圈，右边绕三圈，脖子绕一绕，屁股扭一扭，走起来，抖抖手，再动动小膝盖（因时间原因，这边“收”）。。。好，宝宝学的很好，现在我们有请音乐宝宝和我们一起跳起来，有请音乐。”宝宝跟着音乐跳，因时间关系，一遍即可。问好： 教师：“宝宝们，刚刚的热身操跳的真棒，老师的大拇哥表扬你们一下了，宝宝们真棒！好，下面老师要和宝宝们问好啦，小手起，‘宝，宝，早，上，好’，老师跟宝宝问好了，宝宝应该怎么样？宝宝说：‘老,师,早,上,好’,啊，宝宝的祝福老师都收到啦，老师谢谢我们的宝宝。” 图 形闪卡：认识雨·雾·霜

宝宝，全都靠近老师一点，今天小熊打电话给老师，他想邀请大家去他家玩，但是小熊说，他家的天气不太好，早上有雾和霜，白天还下雨，接下来，老师就带宝宝认识雨雾霜，宝宝仔细看好了，当当当，我们看看，我们认识的第一个天气是什么（拿出卡片，闪卡，左边开始闪，中间一下，右边一下，然后从右边开始，如上）。宝宝，你们大声的数三个数，老师就把它请出来，1,2,3，啊，第一个天气是雨啊，宝宝，下雨天我们要怎么样”？宝宝肯定会说是雨伞，教师：“啊，对了，下雨天我们要打雨伞，宝宝可要记住了哦。宝宝，雨（三遍），宝宝，跟老师念，雨（左），雨（中间），雨（右）。好，宝宝，接下来我们看看第二个天气是什么，现在我们请上我们的家长一起数三个数，1,2,3，（出示卡片）啊，宝宝，认识么，早上会出来的，它一出来我们就会看不清，叫什么？宝宝回答：“雾”，对了，是雾，宝宝，雾（如上读三遍）好了，剩下我们最后一个天气啦，宝宝和老师一起看看长什么样子，我们一起数三个数请出它，1，2，3，啊，宝宝看，白色的，这就是霜，宝宝，霜（三遍，如上）”。然后再拿起来，从后往前翻，霜雨雾，慢慢的加快速度，让宝宝多读几遍，接下来把卡片依次摆放在地上，说出名字，让宝宝用手指指出来，再给予相应的表扬。

精细动作：培养宝宝对音乐的感受力，训练宝宝走路的能力

宝宝，我们一起认识雨雾霜这三种天气，接下来我们要和它们说再见了。（拿一篮按摩球来）宝宝看，老师这里有好多红色的按摩球，今天啊，我们就是要和这些按摩球玩游戏，等下老师会把球交给我们的妈妈，妈妈可以拿着球适当的调整与宝宝之间的距离，但是千万要注意安全，距离可以适当的远些，让宝宝来抓球，这样可以锻炼宝宝的走路能力，然后我们的妈妈还有一个任务，那就是和老师一起唱歌，等下老师唱的时候可以跟着一起学，在游戏当中添加歌曲，可以培养宝宝对音乐的感受力。好，我们的游戏要开始啦，请妈妈带着宝宝来老师这里拿按摩球，（宝宝来拿球的时候，老师开始唱歌：‘宝宝快来，宝宝快来，来来来，来来来，快来拿球球啊，快来拿球球啊，来来来，来来来。’伴奏是《两只老虎》，这时候可以请家长一起参与唱，宝宝也可以一起，教师在游戏过程中要去做示范和协助家长与宝宝完成这个游戏）。

妈妈和我和器械运动：让宝宝学习按照规则进行活动，并愉快的玩游戏 教师：“宝宝们都好棒，抓球都抓的很好，走路也走的特别棒。刚刚啊，小熊又给老师打电话了，它叫老师快点带上宝宝去陪它，它已经等不及啦，所以啊，老师现在要带宝宝出发啦，在去小熊家的路上有一个恐龙游乐园，我们今天的目的地就是那里啦，好了，宝宝，今天当驾驶员，宝宝和家长做乘客，老师的汽车要出发啦，请宝宝准备好。（用

开车的动作小跑到宝宝面前，接下来的依次都是）滴滴，汽车来啦，请问这位宝宝叫什么名字？我叫某某某，哦，某某宝宝的声音可真响亮，请上车；汽车又开动啦，滴滴，这位妈妈，请问您是哪位宝宝的妈妈？”妈妈：“我是某某某的妈妈”，哦，某某的妈妈您的声音可真响亮，请上车，（接下来都是这样询问宝宝及家长）嘀嘀嘀，啊，大家坐好了，大雾来啦，请大家扶好扶手；嘀嘀嘀，啊，前面下大雨啦，请大家扶好扶手；滴滴滴，恐龙游乐园到啦，宝宝看，好多恐龙啊，宝宝们都看到了什么恐龙啊？啊，快看，有一只恐龙在天上飞来飞去的，宝宝知道那是什么恐龙么，它啊，是翼龙，像鸟一样，可以飞的。哇，大家坐好了，前面来了一只霸王龙，老师要越过它了，哇，真的好险啊，啊，老师看见小熊啦，我们把它接上车吧，小熊请上车，（小熊上车后再出发）啊，地震来啦，大家坐好啦，滴滴，啊，原来是震龙来啦，怪不得跟发地震一样。不行，这里太危险啦，我们赶快回家,滴滴，回家咯，哇，车窗上面都有霜啦，好冷啊，老师要开快点啦，大家抓紧扶手啦，嘀嘀嘀，哇，终于到家啦，请大家排好队下车，哇，好累啊，我们找个凳子坐坐吧。（教师拿来一条独脚凳）宝宝看，这个凳子和其它的凳子不一样，它啊，只有一条腿，它还有个很有趣的名字，叫作“独脚凳”独脚凳是怎么坐的呢，宝宝看，我们两手扶住凳子，然后坐上去（教师示范），家长可以协助宝宝坐上去，一定要注意

安全哦，宝宝在坐凳子的时候也可以和自己的小伙伴玩游戏哦，宝宝可以邀请一位小伙伴和自己面对面坐着，然后玩拍手游戏，看看谁在拍手的时候还能坐的最稳，谁的平衡力就最好，好了，大家的都累了，宝宝都过来拿凳子坐吧，（放收玩具的音乐）好，现在，请我们的宝宝把独脚凳都送回家，我们的游戏时间结束啦（收凳子）。音乐欣赏： 教师：“刚刚老师和宝宝们走了那么长的路，还玩儿了游戏，接下来，老师要和我们的宝宝还有妈妈一起来听一首好听的音乐，有请音乐！”

总结

冷与热教案 冷和热大班教案篇二

§3.2开系的热力学基本方程

本节要求：理解：多元多相系。掌握：开系的热力学基本方程、吉布斯函数、化学势 1多元多相系（理解：元与相的概念。）

2开系的热力学基本方程、吉布斯函数、化学势（理解：开系于闭系的区别。掌握：开系的热力学基本方程开系的吉布斯函数的推导及结论、化学势的概念及表达式。重点：考核概率30%）

一、几个概念

1、元：把热力学系统的每一种化学组分称为一个组元，简称为元。

2、单元系：仅由一种化学组分组成的系统。例如纯水。

3、多元系：由若干种化学组分组成的系统。例如空气。

4、相：系统中物理和化学性质完全相同且成份相同的均匀部分称为一个相。

5、单相系（均匀系）：仅有单一的相构成的系统称为单相系

6、复相系（多相系）：有若干个相共存的系统称为复相系

又根据组成系统的组元数目，把复相系分为单元复相系和多元复相系。例如，水和水蒸气共存是单元二相系；盐是水溶液与水蒸气共存是二元二相系；

7、相变：在复相系中发生的相转变过程。

8、开系：在相变过程中，物质可以由一相变到另一相，因此一个相的质量或 mol数是可以变的，这时系统为开系。

二、开系的热力学方程

1、g的全微分dg

从上一章我们知道，一个封闭的均匀系，在简单情况下，只需两个独立参量即可确定系统的状态，比如用t，p即可确定系统的吉布斯函数。但对均匀开放系统来说，为了确定其状态，还必须把组成系统的物质摩尔数n或者质量m考虑在内，通常选摩尔数，则此时吉布斯函数是t，p，n为独立参量，则吉布斯函数的全微分可扩展表示为

dgsdtvdpdn

⑴

g)t,p ⑵ n称为化学势，它表示在温度、压强不变的情况下，增加一摩尔的物质时，系统吉g是以 v，p，n为独立变量的特征函数

其中 (布斯函数的增量。

µdn表示由于摩尔数改变了dn所引起的吉布斯函数的改变。由于吉布斯函数是广延量，我们定义一个摩尔吉布斯函数（即1摩尔物质的吉布斯函数），则系统的吉布斯函数g(t,p,n)=ng(t,p)

⑶

因此将⑶代入⑵式得 (g)t,pgm ⑷ n这就是说，化学势µ等于摩尔吉布斯函数g，这个结果适用于单元相系。

2、du

由ugtspv得内能的全微分

dudgtdssdtpdvvdp sdtvdpdntdssdtpdvvdp

⑸ tdspdvdnu是以s，v，n为独立变量的特征函数

⑸式就是开系的热力学基本方程。它是dutdspdv的推广，可知，开系的内

u能u是以s,v,n为独立变量的特性函数。µ也可以表示为

⑹

ns,v即化学势µ也等于在s,v不变的条件下，增加1mol物质时系统内能的改变。

3、dh

由焓的定义hupv得焓的全微分为

dhdupdvvdptdsvdpdn

⑺

h是以s，p，n为独立变量的特性函数。

h因此化学势也可表示为 

⑻

ns,p

4、df

因自由能定义f=u-ts。可得自由能的全微分

dfdvtdssdtsdtpdvdn ⑼ f是以t，v，n为独立变量的特性函数

f因此 

⑽

nt,v（5）、（7）、（9）称为开系的热力学函数

如果定义一个热力学函数 巨热力势 jfnfgpv

⑾ 它的全微分为

djdfdnndsdtpdvnd

⑿ j是以t，v，µ为独立变量的特性函数。如果已知巨热力势j(t，v，µ)，其它热力学函数可用下面的偏导数求得：

s(jjj)v,，p()t,，n()t,v ⒀

tv由以上讨论可见，单元开系的热力学特性函数与闭系相比，仅增加了一个变数n,并由此引进了化学势的概念。

§3.3单元系的复相平衡条件

本节要求：掌握：平衡条件。了解：过程进行的方向。1平衡条件（理解：孤立条件。掌握：平衡条件的得出及结论。）2过程进行的方向（理解：由平衡条件判定过程进行的方向）

一、平衡条件

1、推导：为简单起见，考虑一个孤立的单元两相系，我们用上角标α和β表示两个相，用u，v，n和u，v，n分别表示α和β相的内能，体积和摩尔数。因为是孤立系，所以总的内能，体积和摩尔数是恒定的，有

uu常量 vv常量nn常量 ⑴

若系统发生一个虚变动，则α相和β相的内能，体积和摩尔数分别改变：u，v，n和u，v，n。孤立系统的条件式（1）要求：u+u=0 v+v=0，n+ n=0 ⑵

由dutdspdvdn知,两相的熵变为

supvnt，supvnt

⑶

根据熵的广延性知，整个系统的熵变

sssuuttppnntvtvtt11ppu()v()n()0⑷ tttttt

根据熵判据知，当整个系统达到平衡时，总熵有极大值s0 因为⑷式中u、v、n是独立变量, s0要求 11pp0，0，0 tttttt即：tt

热平衡条件

pp

力学平衡条件

⑸

 相变平衡条件

整个系统达到平衡状态时，两相的温度、压强和化学势必须分别相等。同理，单元三相系平衡条件为： 热平衡条件ttt 力学平衡条件ppp

相变（化学）平衡条件

2、讨论

如果平衡条件未被满足，复相系统将发生变化，变化将朝着熵增加的方向进行。1）如果热平衡条件未能满足，变化将朝着u(11)0

tt的方向进行。例如当tt时，变化朝着u0的方向进行，即能量将从高温的α相传递到低温的β相去。

2）在热平衡满足tt的情况下，若力学平衡未能满足，变化将朝着ppv()0的方向进行。例，当pp时，变化将朝着v0的方向进行，tt即压强大的相α膨胀，压强小的相β收缩。

3）在热平衡条件已满足tt，相变平衡条件未被满足时，变化将朝着n(tt)0的方向进行。例如当时，变化将朝着n0的方向进行，即物质将由化学势高的β相相变到化学势低的α相去，这是µ被称为化学势的原因。

p

二、单元复相系的稳定性条件仍可表示为cv0,0

vt§3.4单元复相系的平衡性质

本节要求：理解：实际相图；掌握：热力学理论的说明。掌握：平衡曲线的确定，克拉柏龙方程（重点：考核概率30%）

1实际相图（理解：实际相图的三个区域、三条交界线及三相点）2热力学理论的说明（掌握：解释单元系相图）

3平衡曲线的确定，克拉柏龙方程（掌握：相变潜热的概念及克拉柏龙方程的应用）（重点：考核概率30%）

一、p—t图：

1、p—t图：实验指出：系统的相变与其温度和压强有关，在不同的温度和压强下系统可以有不同的相，气相、液相或固相。有些物质的固相还可以具有不同的晶格结构，不同的晶格结构也是不同的相。如水（h2o）构成的系统有三态：水蒸气（气）、水（液）、冰（固）。在不同的条件下，其相有：气态有一相；液态有一相；固态有六种不同的稳定态，它们分属于六相。在直角坐标中，单元系相同可以用p—t图表示。

由单元系相平衡条件，知

 （t,p)（t,p)

⑴由式（1）决定的曲线 p=p(t)⑵

称为相平衡曲线。画出p—t关系图即为相图。如图为单元系相图。

三条曲线将图分为三个区域，它们分别表示固相、液相和气相单相存在的温度和压强范围。化学势用，，表示，在各自的区域内，温度和压强可以单独变化。如图中分开气、液两相的曲线ac，为汽化线，为气液两相的平衡线，在气化线上气液两相可以平衡共存。气化线上有一点c，温度等于c点时，液相不存在，因而汽化线也不存在，c点称为临界点，相应的温度tc和压强pc称为临界温度和临界压强。例如，水的临界温度是647.05k，临界压强是22.09106pa.分开液相和固相区域的曲线ab称为熔解线（或凝固线）。

t,pt,p

⑶

分开气相和固相区域的曲线称为升华线。

t,pt,p

⑷

由于固相在结构上与气液相差别很大，所以溶解曲线和升华曲线不存在端点，它们只能与其他相平衡曲线相交而中断。

气化线、熔解线和升华线交于一点a，此点三相共存称为三相点，是三条相平衡曲线的交点。在三相点，物质的气、液、固相共存。对于某一物质三相点的温度和压强是确定的。例如，水的三相点温度为273.16k，压强为610.88pa.举例：以液—气两相的转变为例说明由一相到另一相的转变过程。

如图所示：系统开始处在由点1所代表的气相，如果维持温度不变，缓慢地增加外界的压强，则为了维持平衡态，系统的压强将相应地增大。这样系统的状态将沿直线1—2变化，直到与汽化线相交于2点，这时开始有液体凝结，并放出热量（相变潜热）。在点2，气、液两相平衡共存。如果系统放出的热量不断被外界吸收，物质将不断地由气相转变为液相，而保持其温度和压强不变，直到系统全部转变为液相后，如果仍保持温度不变而增加外界的压强，系统的压强将相应地增大，其状态将沿着直线2—3变化。

2、p—t图的热力学理论解释：

由吉布斯函数判据我们知道，在一定温度和压强下，系统的平衡状态是吉布斯函数最小的状态。各相的化学势是温度和压强确定的函数t,p，如果在某一温度和压强范围内，α相的化学势t,p较其它相的化学势低，系统将以α相单独存在。这个温度和压强范围就是α相的单相区域。在这个区域内温度和压强是独立的状态参量。

在气化线ac上，气液两相平衡共存。根据热平衡条件，力学平衡条件和相变平衡条件，可知tt，pp，t,pt,p

⑸

在三相点，三个相的温度、压强和化学势都相等，即

t,pt,pt,p

tttt

⑹

pppp

三相点的温度和压强由⑹式决确定。（5）式给出两相平衡共存时压强和温度的关系，是两相平衡曲线的方程式。在平衡曲线上，温度和压强两个参量中只有一个可以独立改变p=p(t)。由于在平衡曲线上两相的化学势相等，两相的任意比例共存，整个系统的吉布斯函数都是相等的。即g0，这就是中性平衡。当系统缓慢地从外界吸收或放出热量时，物质将由一相转变到另一相而始终保持在平衡态，称为平衡相变。

二、克拉珀龙（clapeyron）方程

1、clapeyron方程

式子（5）为两相平衡曲线，由于对物质化学势缺乏足够的知识，我们并不知道每一相的化学势，所以相图上的曲线多是由实验直接测定的。但是由热力学理论可以求出相平衡曲线的斜率的表达式称为clapeyron方程。

如图，在p—t图上画出两相平衡曲线。在相平衡曲线上取邻近的两点a(t，p)和b(t+dt，p+dp)在相平衡曲线上两相的化学势相等，即 t,pt,p

tdt,pdptdt,pdp

⑺ 两式相减得: dd ⑻

这个结果表明，当沿着平衡曲线由a(t，p)变到b(t+dt，p+dp)时，两相化学势的变化必然相等。化学势的全微分为

dsmdtvmdp(9)其中sm和vm分别表示摩尔熵和摩尔体积。

所以有dsdtvdp mm dsmdtvmdp

则由（8）式得sdtvdpsdtvdp

mmmmsmdpsm整理变形得

⑽ dtvmvm定义相变潜热：以l表示1摩尔物质由α相变到β相时吸收的热量，称为，摩尔相变潜热。因为相变时物质的温度不变，由熵的定义得

ltst(ss)

⑾ 代入（10）式得

dpl

⑿ dtt(vmvm)此式称为（clapeyron）方程，它给出两相平衡的斜率。分析clapeyron方程:当物质发生熔解、蒸发或升华时，混乱程度增加，因而熵也增加，相变潜热点是正的。由固相或液相转变到气相体积也增加，因此气化线和升华线的斜率dp∕dt是恒正的。由固相转到液相时，体积也发生膨胀，这时熔解线的斜率也是正的。但有些物质，如冰，在熔解时体积缩小，熔解线的斜率是负的。

2、蒸汽压方程

应用克拉珀龙方程，可以得出蒸汽压方程的近似表达式。与凝聚相（液相或固相）达到平衡的蒸汽称为饱和蒸汽。由于两相平衡时压强与温度间存在一定的关系，饱和蒸汽的压强是温度的函数。描述饱和蒸汽的方程称为蒸汽方程。

若α相为凝聚相，β相为气相，凝聚相的摩尔体积（每摩尔凝聚物的体积）远小于气相的摩尔体积，我们可以略去克拉珀龙方程（10）中的v，并把气相看作理想气体，满足pvrt，则克拉珀龙方程可简化为

dplll dttvvtvtrtp分离变量: 1dpl ⒀ pdtrt2如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关,积分上式，得

lnplc ⒁ rt即蒸汽压方程的近似表达式。可以将式⒁写成 pp0el11rtt0 ⒂

由式（15）可知，饱和蒸汽压随温度的增加而迅速的增加。由蒸汽压方程，可以确定出在一定温度下的饱和蒸汽压；反过来测定饱和蒸汽压，也可确定出该状态的温度。根据这个原理，可以制造蒸汽压温度计。蒸汽压温度计主要用与低温范围的测量。

冷与热教案 冷和热大班教案篇三

第三节 麦克斯韦速度分布律（内容）

1．麦克斯韦速度分布的推导：用经典分布方法 2．麦克斯韦速率分布 3．三个特征速率

第四节 能量均分定理（内容）1．能量均分定理的表述 2．*能量均分定理的证明

3．能量均分定理的应用：单原子理想气体、双原子分子理想气体、理想固体、平衡辐射的内能和热容量

7.3麦克斯韦速度分布律

本节要求：掌握：n个粒子理想气体的速度分布函数。掌握：速度分布函数应用。1 n个粒子理想气体的速度分布函数（掌握：推导速度分布函数。）2速度分布函数应用（掌握：三个速率的得出。）3实验验证：热电子发射实验、分子射线实验（了解）

根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平动，导出气体分子的速度分布律。在这问题上，由量子统计理论和由经典统计理论得到的结果相同。以下采用经典统计理论讨论。

设气体含有n个分子，体积为v。分子质心平动动能

1222(pxpypz)2m在体积v内，在dpxdpydpz的动量范围内，分子质心平动的状态数为

v3dpxdpydpz 3h0h0在体积v内，在dpxdpydpz的动量范围内分子数为

allle 3h0对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，于是

a参数由总分子数n决定，vdpxdpydpz

（1）e3e3h0h02mv3h0e22(pxp2ypz)dpxdpydpzn

v2mpx23e(edp)n x3h0利用i(0)0ex22px12m323dx，(e2mdpx)()，2得eh02n()32，v2mkt代回（1），得质心动量在dpxdpydpz范围内的分子数为

22(pxp2ypz)1322kmtan()edpxdpydpz

2mkt1如果用速度作变量，作代换pxmvx，pymvy，pzmvz，可得在dvxdvydvz范围内的分子数为

2yvz)m322kt(vx2v2an()edvxdvydvz

2ktm或

2yvz)anm322kt(vx2v2()edvxdvydvz vv2ktm则在单位体积内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数，称为麦氏速度分布律

2yvz)m322kt(vx2v2f(vx,vy,vz)dvxdvydvzn()edvxdvydvz

（2）

2ktm函数f(vx,vy,vz)称为麦氏速度分布函数，满足条件

f(v,vx2y,vz)dvxdvydvzn

在速度空间的球坐标中，麦氏速度分布律

m322ktv22f(v,,)vsindvddn()evsindvdd

2kt两边完成速度空间所有方向的积分，2m2mf(v)dv00m322ktv222f(v,,)vsindvddn()evdv2kt00sindd

则在单位体积内，速率在dv范围内的分子数，称为麦氏速率分布律

m322ktv22f(v)dv4n()evdv

（3）

2kt函数f(v)称为速率分布函数，满足条件

mf(v)dvn

0麦氏速度概率分布：w(vx,vy,vz)dvxdvydvzf(vx,vy,vz)dvxdvydvz/n，麦氏速度概率密度分布：w(vx,vy,vz)f(vx,vy,vz)/n，麦氏速率概率分布：w(v)dvf(v)dv/n 麦氏速率概率密度分布：w(v)f(v)/n；

最可几速率：使速率分布函数f(v)取极大值的速率。

对f(v)关于v求导，令

mdf(v)0 dvd22ktv2(ve)0 dvm22ktv2v(2v)e0

ktmv0不符合要求，取2m2v0，得最可几速率 ktvm2kt m物理量的统计平均值

对离散性的随几变量x，在一次实验测量中记录如下，x

n

x1 n1

x2 n2

x3 n3

x4 n4

x5 n5

x6 n6

其中总测量次数nn1n2n3n4n5n6

x的算术平均值

n1x1n6x6n1nx16x6p1(x1)x1p6(x6)x6

nnnpl(xl)xl

l当测量次数趋于无穷大时，x的算术平均值趋于一定的极限，称作x的统计平均值

xlimpl(xl)xl

ll对连续性的随几变量x，统计平均值为

xxdp(x)xw(x)dx 其中dp(x)w(x)dx为dx范围内x出现的概率，w(x)为概率密度分布，积分遍及x的取值范围。平均速率

v2m322kt)ev3dv vvw(v)dv4(2kt0m利用积分i(3)0ex2x3dx122，则

vvw(v)dv方均根速率

8kt mmv2m322ktvvw(v)dv4()ev4dv

2kt022利用积分i(4)0exx4dx23，则 852v2v2w(v)dv方均根速率vs是vsv，于是vs223kt m3kn0tn0m3kt，或vsm3rt。m最可几速率、平均速率和方均根率都与t成正比，与m成反比，它们的相对大小为

vs:v:vm32::11.225:1.128:1 2

碰壁数：在单位时间内碰到单位面积上的分子数。

以ddadt表示在dt时间内，碰到da面积上，速度在dvxdvydvz范围内的分子数。这些分子应当位于以da为底，以v(vx,vy,vz)为轴线，以vxdt为高的柱体内。柱体的体积是

vxdadt，所以

xvdavxdt

ddadtfdvxdvydvzdadt

即

dfdvxdvydvz

对速度积分，即可得在单位时间内碰到单位面积上的分子数

dvydvzfdv0x

2将麦氏速度分布函数f(vx,vy,vz)代入，利用i(1)mm0exxdx12，完成积分

2v2vxym322)[e2ktdvy]vxe2ktdvx n(2kt0n(kt18kt1m322kt122ktnn)[()]nv

2m4m42ktmm7．4能量均分定理

本节要求：掌握：能量均分定理。掌握：计算系统内能和热容量 1能量均分定理（掌握：能量均分定理的内容）

2计算系统内能和热容量（掌握：单原子分子、双原子分子、固体三种情况 掌握：平衡辐射：瑞利-金斯公式）

7．4．1能量均分定理及其证明

1对于处在温度为t的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一平方项的平均值为kt。

2证明：

将系统看作经典系统，粒子总能量

pq

1r1r2(qr1,,qr)aipibiqi2q2i12i1其中ai,bi均为正值，ai与

p1,p2,pr,q1,q2,qr无关；

bi与q1,q2,qr,p1,p2,pr无关；且rr。

系统麦氏概率分布 在ldp1dprdq1dqr的体积范围内，粒子质心平动的状态数为

l1dp1dprdq1dqr rrh0h0对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，于是在积范围的内粒子数为

dp1dprdq1dqr的体ae rh01redp1dprdq1dqr h0nedp1dprdq1dqr rz1h0处在dp1dprdq1dqr内的分子数占总分子数的概率

dp(q,p)w(p,q)dp1dprdq1dqr归一化条件

a n1edp1dprdq1dqr rz1h0dp(q,p)w(p,q)dp1dprdq1dqr

1z1h0r能量表达式中任一平方项edp1dprdq1dqr1

1aipi2的平均值 2112aipi2aipidp(q,p)

221z1h0raipi2122aipiedp1dprdq1dqr 21z1h0rdp1dpi1dpi1dprdq1dqreaipi212aipie2dpi

（1）2其中

aipi2

12aipi2112aipie2dpi22pieaipi22d(2aipi2)

12pideaipi22

aipi21pie2212eaipi22dipi

12eaipi22dipi

（2）

将（2）代回（1），注意归一化条件，1aipi2 21z1h0rdp1dpi1dpi1dprdq1dqre12eaipi22dpi

12z1h0r12z1h0reaipi22dp1dprdq1dqr

edp1dprdq1dqr

11kt 22112同理可证，biqikt。

227．4．2能量均分定理的应用 单原子分子

1222(pxpypz)2m13分子平均能量kt3kt

223系统总内能unnkt

2du3定容热容量cvnk

dt25定压热容量cpcvnknk

2质心平动动能定压热容量与定容热容量之比cpcv51.667 3理论结果与实验结果符合得很好，但没有考虑原子内电子的运动。原子内的电子对热容量没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。双原子分子

双原子分子的能量1111222222(pxpypz)(pp)pru(r)22m2i2sinm1m2是约化质量。

m1m22其中mm1m2为两个原子之和，ir是转动惯量，15kt5kt 225系统总内能unnkt

2du5定容热容量cvnk

dt27定压热容量cpcvnknk

2分子平均能量定压热容量与定容热容量之比cpcv71.4 5除了低温下的氢气外，理论结果与实验结果都符合。低温下的氢气的性质不能用经典理论解释，同时也不能解释为什么可以不考虑两个原子之间的相对运动。固体

固体中的原子在其平衡位置附近作微振动，假设各原子的振动是相互独立的简谐振动。

121pm2q2 2m21一个原子的平均能量kt63kt

2固体的内能un3nkt 一个自由度上的能量定容热容量cvdu3nk dttv2定压热容量cpcvt3nktv2t

在室温和高温范围内理论结果与实验结果符合。在低温范围，实验发现固体的热容量随温度降低得很快，当温度趋于绝对零度时，热容量也趋于零。这个事实经典理论不能解释。实验结果还表明，3k以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以忽略，这个事实经典理论也不能解释。平衡辐射

考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为平衡辐射，二者具有相同的温度。

空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，如果采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量可表示为

0e22222，由拉普拉斯算符2xyz2i(krt)，(kkk)0e2i(krt)2 0et222x2y2zi(krt)

120，代入电磁场的波动方程2ct2(kkk)0e2x2y2zi(krt)2c20ei(krt)0

(k22c2)0

k22c20

ckckecp

此即辐射场的能量动量关系。

具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。它以圆频率随时间作简谐振动，因此相应于一个自由度。周期性边界条件给出可能的波矢，2kxlnx,nx0,1,2,，ky2ny,ny0,1,2,, l2kznz,nz0,1,2,，l如果窖壁的线度l为一个宏观量，则每一个自由度的波矢、动量和能量是准连续的，这

3时往往考虑在体积vl内，在kx到kxdkx，ky到kydky，kz到kzdkz的波矢范围内辐射场的自由度（量子态）数。在kx到kxdkx的范围内可能的数目为

dnxky到kydky的范围内可能的数目为

ldkx 2dnykz到kzdkz的范围内可能的数目为

ldky 2dnzldkz 23在体积vl内，在kx到kxdkx，ky到kydky，kz到kzdkz的波矢范围内辐射场的自由度（量子态）数为

2dnxdnydnz2(l3v)dkxdkydkzdkxdkydkz 324v2ksindkdd 43上式在波矢的球坐标空间中表示为，2dn(k,,)3考虑ck，在体积vl内，在~d范围内辐射场的自由度（量子态）数为

d()dv2d 23c根据能量均分定理，温度为t时，每一个振动自由度的平均能量为kt。所以，在体积v内，在~d范围内辐射场的内能为

udvkt2d 23c或令vu/v，利用2，化为

d82ktd 3c上式称为瑞利—金斯公式。它在低频范围与实验结果符合，但在高频范围二者有尖锐的歧异。

瑞利金斯公式的曲线实验曲线平衡辐射的总能量



u0vud23c0kt2d

平衡辐射的定容热容量cvdu dt4这一结果与热力学得到的结论utv不相符，历史上称为紫外光灾难。导致这一荒谬结果的原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个自由度，而根据经典统计的能量均分定理，每个自由度分得平均能量为kt，所以辐射场的总内能发散。由此看来，经典统计存在根本性的原则困难。开尔文爵士称之为物理学天空中的第一朵乌云，正是这朵乌云引发了量子力学的革命。