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等价无穷小的推理过程 等价无穷小如何理解篇一

例1 limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

=limx→0x·12x2x3（∵ sinx～x,1-cosx～x22）

=12

此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。

例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。

例3 limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 （∵ sinx～x）

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44

（∵ tanx～x）

=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 （∵ tanx～x）

两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx （注意limx→0sinx-xcosx=-1）， 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。

2.2 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。

比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正项级数， ① 如果limn→∞unvn=l（0≤l<+∞） ，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。

② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性，就可以找到另一个的敛散性。

例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的敛散性

解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收敛 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收敛

例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性

解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 发散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 发散

3 等价无穷小无可比拟的作用

以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：

原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx

=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：

例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。

等价无穷小的推理过程 等价无穷小如何理解篇二

无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时（或x→∞）时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时（或x→∞）时为无穷小。

当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

常见性质有：

设α，α′，β，β′，γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′，β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ

性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：

③ 若α～α′，β～β′， 且limβα=c（≠-1），则α+β～α′+β′

证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c（≠-1）”这个条件，千篇一律认为“α～α′，β～β′，则有α+β～α′+β′

④ 若α～α′，β～β′， 且limaα′±bβ′cα′±dβ′存在，则当aα′±bβ′cα′±dβ′≠0且 limaα±bβcα±dβ存在，有limaα±bβcα±dβ=limaα′±bβ′cα′±dβ′

此性质的证明见文献[2]，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c（≠-1）”，“aα baihua ′±bβ′cα′±dβ′≠0”的使用。