高二下学期数学教案全部五篇(精选)
作为一名教职工，总归要编写教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。优秀的教案都具备一些什么特点呢？那么下面我就给大家讲一讲教案怎么写才比较好，我们一起来看一看吧。
高二下学期数学教案全部篇一
本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示;平面向量的坐标表示;平面向量的坐标运算。
二、考纲要求
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.
三、教学过程
(一) 知识梳理:
1.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则
=_________________
| |=_______________
(二)平面向量坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量
设 =(x1，y1)， =(x2，y2)，则
+ = - = λ = .
2.向量平行的坐标表示
设 =(x1，y1)， =(x2，y2)，则 ∥ ⇔________________.
(三)核心考点·习题演练
考点1.平面向量的坐标运算
例1.已知a(-2,4),b(3,-1),c(-3,-4).设 (1)求3 + -3 ;
(2)求满足 =m +n 的实数m,n;
练：(2015江苏,6)已知向量 =(2,1), =(1,-2),若m +n =(9,-8)
(m,n∈r),则m-n的值为.
考点2平面向量共线的坐标表示
例2:平面内给定三个向量 =(3,2), =(-1,2), =(4,1)
若( +k )∥(2 - ),求实数k的值;
练：(2015，四川，4)已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4).若λ为实数,( +λ )∥ ,则λ= ()
思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?
方法总结:
1.向量共线的两种表示形式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
2.两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
考点3平面向量数量积的坐标运算
例3“已知正方形abcd的边长为1,点e是ab边上的动点,
则 的值为; 的值为.
【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
练：(2014,安徽，13)设 =(1,2), =(1,1), = +k .若 ⊥ ,则实数k的值等于()
【思考】两非零向量 ⊥ 的充要条件: · =0⇔.
解题心得:
(1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
(3)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
考点4：平面向量模的坐标表示
例4：(2015湖南,理8)已知点a,b,c在圆x2+y2=1上运动,且ab⊥bc,若点p的坐标为(2,0),则 的值为()
a.6 b.7 c.8 d.9
练：(2016，上海，12)
在平面直角坐标系中，已知a(1，0)，b(0，-1)，p是曲线上一个动点，则 的取值范围是?
解题心得:
求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解..
五、课后作业(课后习题1、2题)
高二下学期数学教案全部篇二
一、教学目标
1 知识与技能
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
2 过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3 情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值
难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件
三、教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系
提出问题，激发求知欲
组织学生自主探索，获得函数的极值定义
通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解
四、教学过程
〈一〉创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么?
(提问c类学生回答，a，b类学生做补充)
函数的极值与导数教案 2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数函数的极值与导数教案=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案
(1)当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度，那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢?
(2)在点t=a附近的图象有什么特点?
(3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律?
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t0;当t>a时,函数函数的极值与导数教案单调递减, 函数的极值与导数教案 <0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 函数的极值与导数教案 先正后负,且函数的极值与导数教案连续变化,于是h/(a)=0.
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?
<二>探索研讨
函数的极值与导数教案1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
函数的极值与导数教案(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
(2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
(3)在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗?
充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反
4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：
(1)找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点?
(2)极大值一定大于极小值吗?
5、随堂练习:
如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=函数的极值与导数教案的图象?
函数的极值与导数教案<三>讲解例题
例4 求函数函数的极值与导数教案的极值
教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.
学生动手做,教师引导
解:∵函数的极值与导数教案∴函数的极值与导数教案=x2-4=(x-2)(x+2)令函数的极值与导数教案=0,解得x=2,或x=-2.
函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案
下面分两种情况讨论:
(1) 当函数的极值与导数教案>0,即x>2,或x<-2时;
(2) 当函数的极值与导数教案<0,即-2
当x变化时, 函数的极值与导数教案 ,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
函数的极值与导数教案
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案单调递减
函数的极值与导数教案
单调递增
函数的极值与导数教案因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 函数的极值与导数教案 ;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)= 函数的极值与导数教案
函数函数的极值与导数教案的图象如:
函数的极值与导数教案归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
函数的极值与导数教案1求函数的极值与导数教案,解方程函数的极值与导数教案=0,当函数的极值与导数教案=0时:
(1) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案>0,右边函数的极值与导数教案<0,那么f(x0)是极大值.
(2) 如果在x0附近的左边函数的极值与导数教案<0,右边函数的极值与导数教案>0,那么f(x0)是极小值
<四>课堂练习
1、求函数f(x)=3x-x3的极值
2、思考：已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,
求函数f(x)的解析式及单调区间。
c类学生做第1题，a，b类学生在第1,2题。
<五>课后思考题
1、若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，求实数b的范围。
2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。
<六>课堂小结
1、函数极值的定义
2、函数极值求解步骤
3、一个点为函数的极值点的充要条件。
<七>作业 p32 5 ① ④
教学反思
本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练函数的极值与导数教案
研讨评议
教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获。
高二下学期数学教案全部篇三
教学目标
知识与技能目标：
本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：
(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数导数的几何意义教案在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案的几何意义，使学生认识到导数导数的几何意义教案就是函数导数的几何意义教案的图象在导数的几何意义教案处的切线的斜率。即：
导数的几何意义教案=曲线在导数的几何意义教案处切线的斜率k
在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：
(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：
(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系;通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值;
(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
教学重点与难点
重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义。
教学过程
一、复习提问
1.导数的定义是什么?求导数的三个步骤是什么?求函数y=x2在x=2处的导数.
定义：函数在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案就是函数在该点处的瞬时变化率。
求导数的步骤：
第一步：求平均变化率导数的几何意义教案;
第二步：求瞬时变化率导数的几何意义教案.
(即导数的几何意义教案，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数)
2.观察函数导数的几何意义教案的图象，平均变化率导数的几何意义教案 在图形中表示什么?
生：平均变化率表示的是割线pq的斜率.导数的几何意义教案
师：这就是平均变化率(导数的几何意义教案)的几何意义，
3.瞬时变化率(导数的几何意义教案)在图中又表示什么呢?
如图2-1，设曲线c是函数y=f(x)的图象，点p(x0，y0)是曲线c上一点.点q(x0+δx，y0+δy)是曲线c上与点p邻近的任一点，作割线pq，当点q沿着曲线c无限地趋近于点p，割线pq便无限地趋近于某一极限位置pt，我们就把极限位置上的直线pt，叫做曲线c在点p处的切线.
导数的几何意义教案
追问：怎样确定曲线c在点p的切线呢?因为p是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了.设割线pq的倾斜角为导数的几何意义教案，切线pt的倾斜角为导数的几何意义教案，易知割线pq的斜率为导数的几何意义教案。既然割线pq的极限位置上的直线pt是切线，所以割线pq斜率的极限就是切线pt的斜率导数的几何意义教案，即导数的几何意义教案。
由导数的定义知导数的几何意义教案 导数的几何意义教案。
导数的几何意义教案
由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率就是y=f(x)在点x0处的导数f'(x0).今天我们就来探究导数的几何意义。
c类学生回答第1题，a，b类学生回答第2题在学生回答基础上教师重点讲评第3题，然后逐步引入导数的几何意义.
二、新课
1、导数的几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.
即：导数的几何意义教案
口答练习：
(1)如果函数y=f(x)在已知点x0处的导数分别为下列情况f'(x0)=1，f'(x0)=1，f'(x0)=-1，f'(x0)=2.试求函数图像在对应点的切线的倾斜角，并说明切线各有什么特征。
(c层学生做)
(2)已知函数y=f(x)的图象(如图2-2)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数.(a、b层学生做)
导数的几何意义教案
2、如何用导数研究函数的增减?
小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。
同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。
例1 函数导数的几何意义教案上有一点导数的几何意义教案，求该点处的导数导数的几何意义教案，并由此解释函数的增减情况。
导数的几何意义教案
函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)
3、利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程.
例2 求曲线y=x2在点m(2，4)处的切线方程.
解：导数的几何意义教案
∴y'|x=2=2×2=4.
∴点m(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：
(1)先求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0).
(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0).
提问：若在点(x0，f(x0))处切线pt的倾斜角为导数的几何意义教案导数的几何意义教案，求切线方程。(因为这时切线平行于y轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程。根据切线定义可直接得切线方程导数的几何意义教案)
(先由c类学生来回答，再由a，b补充.)
例3已知曲线导数的几何意义教案上一点导数的几何意义教案，求：(1)过p点的切线的斜率;
(2)过p点的切线的方程。
解：(1)导数的几何意义教案，
导数的几何意义教案
y'|x=2=22=4.∴ 在点p处的切线的斜率等于4.
(2)在点p处的切线方程为导数的几何意义教案 即 12x-3y-16=0.
练习：求抛物线y=x2+2在点m(2，6)处的切线方程.
(答案：y'=2x，y'|x=2=4切线方程为4x-y-2=0).
b类学生做题，a类学生纠错。
三、小结
1.导数的几何意义.(c组学生回答)
2.利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤.
(b组学生回答)
四、布置作业
1. 求抛物线导数的几何意义教案在点(1,1)处的切线方程。
2.求抛物线y=4x-x2在点a(4，0)和点b(2，4)处的切线的斜率，切线的方程.
3. 求曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线的倾斜角
-4.已知抛物线y=x2-4及直线y=x+2，求：(1)直线与抛物线交点的坐标; (2)抛物线在交点处的切线方程;
(c组学生完成1,2题;b组学生完成1,2,3题;a组学生完成2,3，4题)
教学反思：
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数 的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。 先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义;然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。 本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。
高二下学期数学教案全部篇四
教学目标: 1、理解集合的概念和性质.
2、了解元素与集合的表示方法.
3、熟记有关数集.
4、培养学生认识事物的能力.
教学重点: 集合概念、性质
教学难点: 集合概念的理解
教学过程:
1、 定义：
集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
由此上述例中集合的元素是什么?
例(1)的元素为1、3、5、7，
例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，
例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x，
例(4)的元素为所有直角三角形，
例(5)为高一·六班全体男同学.
一般用大括号表示集合，{ „ }如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为„„
为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员} ，b={1，2，3，4，5}
(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.
3、元素与集合的关系：隶属关系
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于( 也可表示为)两种。 如a={2，4，8，16}，则4∈a，8∈a，32 a.
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就说a属于集a 记作 aa ，相反，a不属于集a 记作 aa (或)
注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q„„
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q„„
2、“∈”的开口方向，不能把a∈a颠倒过来写。
4
注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
(2)非负整数集内排除0的集。记作n-或n+ 。q、z、r等其它数集内排除0
的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z-
请回答：已知a+b+c=m，a={x|ax2+bx+c=m}，判断1与a的关系。
高二下学期数学教案全部篇五
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式d(a+b)=a2d， 以及若～(n，p)，则d=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式d(a+b)=a2d，以及若～(n，p)，则d=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ，， 中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 ， ，， ，那么 + ++叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5. 分布列:
x1 x2 xi
p p1 p2 pi
6. 分布列的两个性质： ⑴pi0，i=1，2，; ⑵p1+p2+=1.
7.二项分布:～b(n，p)，并记 =b(k;n，p).
0 1 k n
p
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k=0,1,2,， .
1 2 3 k
p9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为
x1 x2 xn
p p1 p2 pn
则称 为的数学期望，简称期望.
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令 ，则有 ， ，所以的数学期望又称为平均数、均值
12. 期望的一个性质:
13.若 b(n,p)，则e=np
二、讲解新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是 ， ，， ， ，且取这些值的概率分别是 ， ，， ，，那么,
= + ++ +
称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量的期望.
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量的标准差，记作 .
3.方差的性质：(1) ;(2) ;
(3)若～b(n，p)，则 np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数x 的分布列为 1 2 3 4 5 6 从而 例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资x1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率p1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资x2/元 1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率p2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位? 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 ex1 = 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 , dx1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400) 20. 1 = 40 000 ; ex2=1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , dx2 = (1000-1400)20. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l = 160000 . 因为ex1 =ex2, dx 1 例3.设随机变量的分布列为 1 2 np
求d
解：(略) ,
例4.已知离散型随机变量 的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
p
离散型随机变量 的概率分布为
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
p
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解： ;
;
;
=0.04, .
点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的取值较为集中. ， ， ，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.
=2， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+(10-9) ;同理有
由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.
点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同. =9，这时就通过 =0.4和 =0.8来比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6.a、b两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
a机床 b机床
次品数1 0 1 2 3 次品数1 0 1 2 3
概率p 0.7 0.2 0.06 0 .04 概率p 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
解： e1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,
e2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
d1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2
0.06+(3-0.44)20.04=0.6064,
d2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2
0.04+(3-0.44)20.10=0.9264.
d1 d2 故a机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1 .已知 ，则 的值分别是( )
a. ;b. ;c. ;d.
答案：1.d
2 . 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析：涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3
当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
p(=0)=
当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
p(=1)=
当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
p(=2)=
当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则p(=3)=
所以，e=
3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求e，d
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即 b(200，1%)，从而可用公式：e=np，d=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以 b(200，1%) 因为e=np，d=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，e=2001%=2,d=2001%99%=1.98
4. 设事件a发生的概率为p，证明事件a在一次试验中发生次数的方差不超过1/4
分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差d=p(1-p)后，我们知道d是关于p(p0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：因为所有可能取的值为0，1且p(=0)=1-p,p(=1)=p,
所以，e=0(1-p)+1p=p
则 d=(0-p)2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p)
5. 有a、b两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
a 110 120 125 130 135 b 100 115 125 130 145
p 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 p 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中a、b分别表示a、b两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较a、b两种钢筋哪一种质量较好
分析： 两个随机变量a和 b都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.a取较为集中的数值110，12 0，125， 130，135;b取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想a种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性
解：先比较a与b的期望值，因为
ea=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,
eb=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.
所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为
da=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50，
db=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.
所以，da db.因此，a种钢筋质量较好
6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元?
分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的不考虑获利的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用
解：设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100 依题
意，可得的分布列为
0 5 25 100
p
答：一张彩票的合理价格是0.2元.
五、小结 ：⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值;②求取各个值的概率，写出分布列;③根据分布列，由期望的定义求出e;④根据方差、标准差的定义求出 、 .若～b(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、课后作业： p69练习1,2,3 p69 a组4 b组1,2
1.设 ～b(n、p)且e =12 d =4，求n、p
解：由二次分布的期 望与方差性质可知e =np d = np(1-p)
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~b(6、 )求b (2;6， )
解：p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知 和 的分布列如下：(注得分越大，水平越高)
1 2 3
p a 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
试分析甲、乙技术状况
解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
e =2.3 , e =2.0
d =0.81 , d =0.6
七、板书设计(略)
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：
①理解的意义，写出可能取的全部值;
②求取各个值的概率，写出分布列;
③根据分布列，由期望的定义求出e;
④根据方差、标准差的定义求出 、 .若～b(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
