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数形结合 论文篇一

一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用

数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。

（一）以形助数

所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。

（二）以数解形

虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。

二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题

（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯

老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。

（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。

三、结语

在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。

作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学

数形结合 论文篇二

高考冲刺：数形结合

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升 热点分析 高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。

经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是

a．

解析：画出

由题设有，

b．的示意图。 ， ，若，且，则

c．

d．

∴ ，

令 ，

则

∵

∴ ， ∴ 在，

。 上是增函数。

∴

举一反三：

【变式1】已知函数

。选c.

在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即

。 。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数

（ⅰ）写出

（ⅱ）设的单调区间； ，求

在[0，a]上的最大值。

。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时，，。

（2）当a≤1时，当

当

【变式3】已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,

有|f(x)|≤5，问a为何值时，m(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，

∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，

∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，

（这是不可能的）

（2）当，时，，

∵，所以，

（图1）

（图2）

（1）当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

（2）当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），

由于，

因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，

当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，

设切点

又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，

∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。

举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，

即对应方程有两个不同的实数根，

若，设原方程的一个根为，则另一个根为。

∴。

若，设原方程的一个根为，则另一个根为，

∴。

所以这两个实根的和为或。

且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.

解析：为便于观察，不妨先将正方形pabc向负方向滚动，使p点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。

（一）以a为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点b位于x轴上，

顶点p画出了a为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以b为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点c位于x轴上，

顶点p画出b为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以c为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点p位于x轴上，为点，

它画出了c为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。

∴ 函数的周期为4.

相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、

半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

。

举一反三：

2

2【变式1】已知圆c：(x+2)+y=1，p（x，y）为圆c上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，

由题意知p（x，y）在圆c上，又c（―2，0），半径r=1。

∴|oc|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，

设q（1，2），，过q点作圆c的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，

当直线与圆c有公共点时，可求得u的范围，

最值必在直线与圆c相切时取得。这时

∴

。 ，最小值为

。 ，

∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数

解析：的最小值。

则y看作点p（x，0）到点a（1，1）与b（3，2）距离之和

如图，点a（1，1）关于x轴的对称点a＇（1，－1），则 即为p到a，b距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）

2的取

a．

b．或

c．

d．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，

则 ，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

可看作可行域内的点与原点o（0，0）连线的 则 ，选c。

数形结合 论文篇三

在数学教学中渗透数形结合思想

在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。

一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想

在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

例如:

1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；

2、比2℃低5℃的温度是_______；

3、若|a|=2，则a=______；

4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。

这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。

二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想

在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。

三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。

用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。