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题目

已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为(      )

A、

     B、

      C、

      D、

可圈可点用户
2021-06-08 12:08
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A
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三棱锥顶点射影与底面三角形的“心”

设有三棱锥P-ABC,P在平面ABC上的射影为O,现讨论当三棱锥满足什么条件时,O分别是△ABC的外心、内心、旁心、重心、垂心(三角形五心)。

外心

若O是△ABC的外心,则OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC(射影的定义),因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA,tanPBO=OP/OB,tanPCO=OP/OC,由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。

综上,可得到以下定理:

当三棱锥的三条侧棱相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心。

当三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心。

内心

若O是△ABC的内心,则O到三边距离相等,且O在△ABC内。设O到BC、AC、AB的垂线段分别为OD、OE、OF,那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD,tanPEO=OP/OE,tanPFO=OP/OF,因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。

且由三垂线定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB,即∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。

综上,可得到以下定理:

当三棱锥的顶点到底面三角形三边距离相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的内部,那么射影是内心。

当三棱锥的各个侧面与底面构成的二面角相等,且顶点在底面的射影在底面三角形的内部,那么射影是内心。

可圈可点用户
2021-06-08 17:08
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